Question

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在以為直角頂點且內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）由得，................................................. （1分）

又．........................................................ （2分）

故橢圓方程為，

橢圓經過點，則

．............................................................ （3分）

所以...............................................................  （4分）

所以橢圓的標準方程為．................................................ （5分）

（2）假設存在這樣的等腰直角三角形.

明顯直線的斜率存在，因為點的坐標為，設直線的方程為，則直線的方程為．.............................................................. （6分）

將的方程代入橢圓得

所以，或[

所以點的縱坐標為............................................... （7分）

所以．............... （8分）

同理....................................... （9分）

因為是等腰直角三角形，所以，即

................................................ （10分）

即

所以，即..................................... （11分）

所以

即

所以，或..................................................... （12分）

所以，或．...................................................... （13分）

所以這樣的直角三角形有三個．................................................... （14分）

 

【解析】略