Question

（2012•棗莊二模）已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，且過點（1，

3

2

），橢圓C的焦點與曲線2

x

2

-2

y

2

=1的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F任作橢圓C的一條弦PQ，直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點，點M、N的縱坐標分別為m、n．請問以線段MN為直徑的圓是否經過x軸上的定點？若存在，求出定點的坐標，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）問的條件下，求以線段MN為直徑的圓的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，橢圓C的焦點為（-1，0），（1，0），且過點（1，

3

2

），由橢圓的定義，可得a的值，從而可求橢圓C的方程；
（2）假設以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點，由（1）知F（1，0），分類討論：①當PQ⊥x軸時，以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=9，可得以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0）；②當直線PQ與x軸不垂直時，可得以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-

m+n

2

）²=(

m-n

2

)2，驗證（1，0），（7，0）在圓上；
（3）由（2）知，以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0），故可得線段MN為直徑的圓的半徑的最小值，從而可得結論．

解答：解：（1）由題意，橢圓C的焦點為（-1，0），（1，0），且過點（1，

3

2

），
由橢圓的定義，可得2a=4，∴a=2
∴b²=a²-1=3
∴橢圓C的方程為

x 2

4

+

y 2

3

=1；
（2）假設以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點，由（1）知F（1，0）
①當PQ⊥x軸時，P，Q的橫坐標均為1，將x=1代入橢圓方程可得y=±

3

2

不妨令P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

）
由A，P，M三點共線，得

m-0

4-(-2)

=

3 2 -0

1-(-2)

，∴m=3
同理可得n=-3
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0）；
②當直線PQ與x軸不垂直時，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM=

m-0

4-(-2)

=

m

6

∴直線AM的方程為y=

m

6

(x+2)
代入橢圓方程，整理可得（27+m²）x²+4m²x+4m²-108=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則-2與x₁是上述方程的兩個實根
∴-2x₁=

4m2-108

27+m2

，∴x₁=

54-2m2

27+m2

，∴y₁=

18m

27+m2

∴P（

54-2m2

27+m2

，

18m

27+m2

）
同理可得Q（

54-2n2

27+n2

，

18n

27+n2

）
∴kFP=

y1

x1-1

=

6m

9-m2

，kFQ=

y2

x2-1

=

6n

9-n2

∵P，F(xiàn)，Q三點共線，∴

6m

9-m2

=

6n

9-n2

∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-

m+n

2

）²=(

m-n

2

)2
將（1，0）代入上式的坐標，可得（1-4）²+（0-

m+n

2

）²=-mn++（

m+n

2

）²=(

m-n

2

)2
∴以線段MN為直徑的圓的方程經過點（1，0）
同理（7，0）也在圓上，
綜上，以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0），
故以線段MN為直徑的圓的半徑的最小值為

7-1

2

=3
∴以線段MN為直徑的圓的面積的最小值為9π．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查恒過定點問題，考查分類討論的數(shù)學思想，綜合性強．