Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

m(x-1)2-2x+3+lnx．
（Ⅰ）設(shè)m∈R，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)m＞0，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)原函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，并分m=0，m＞0和m＜0三種情況分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而可分析出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線l的斜率k=f'（1）=-1，此時(shí)切線方程為y=-x+2，若曲線C：y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則聯(lián)立直線與曲線方程所得的方程組有且只有一個(gè)解，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=m（x-1）-2+

1

x

=

mx2-mx-2x+1

x

=

mx2-(m+2)x+1

x

若m=0，則f'（x）=

1-2x

x

，此時(shí)由f'（x）＞0得0＜x＜

1

2

，函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，得x＞

1

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
①若m≠0，則設(shè)g（x）=mx²+（m+2）x+1，
則判別式△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，
所以g（x）=0 有兩個(gè)不同的實(shí)根.x=

m+2± m2+4

2m

②若m＞0，
則由f'（x）＞0，得x＞

m+2+ m2+4

2m

或0＜x＜

m+2- m2+4

2m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，得

m+2- m2+4

2m

＜x＜

m+2+ m2+4

2m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
③若m＜0，
則由f'（x）＞0，得0＜x＜

m+2+ m2+4

2m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，得x＞

m+2+ m2+4

2m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）f'（x）=mx-m-2+

1

x

，得f'（1）=-1，
∴在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程為y=-x+2，
∵曲線C：y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
即-x+2=f（x），
即

1

2

m(x-1)2-x+2+lnx=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
設(shè)g（x）=

1

2

m(x-1)2-x+2+lnx，（x＞0）．
g'（x）=

mx2-(m+1)x+1

x

=

(x-1)(mx-1)

x

，
①若m=1，g'（x）=

(x-1)(x-1)

x

≥0，
g（x）為增函數(shù)，且g（1）=0，故m=1符號條件．
②若m＞1，由g'（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0，
解得x＞1或0＜x＜

1

m

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
由g'（x）＜0，解得

1

m

＜x＜1，此時(shí)單調(diào)遞減，
又g（1）=0，當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞，此時(shí)曲線g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故m＞1，不成立．
③若0＜m＜1時(shí)，由g'（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0，
解得x＞

1

m

或0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
由g'（x）＜0，解得1＜x＜

1

m

，此時(shí)單調(diào)遞減，
又g（1）=0，當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞，此時(shí)曲線g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故0＜m＜1不成立．
綜上：m=1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．