Question

已知函數，且該函數圖象相鄰兩對稱軸間的距離為．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若不等式成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵函數 =sinωx+cosωx+cosωx+sinωx
=（sinωx+cosωx）= sin（ωx+）．
∵該函數圖象相鄰兩對稱軸間的距離為，∴函數f（x）的最小正周期為π，
即 =π，ω=2，f（x）= sin（2x+）．
（II）∵不等式成立，∴ sin（2m+）≥，
∵sin（2x+）≥．
∴2kπ-≤2m+）≤2kπ+，k∈z．解得 kπ-≤m≤kπ+，k∈z．
故實數m的取值范圍為[kπ-，kπ+]k∈z．
分析：（I）化簡函數f（x）的解析式為 sin（ωx+），由該函數圖象相鄰兩對稱軸間的距離為，可得函數f（x）的最小正周期為π，由此求得ω=2．
（II）由不等式可得sin（2x+）≥，故有 2kπ-≤2m+）≤2kπ+，k∈z．由此解得實數m的取值范圍．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合函數的單調性，解三角不等式，屬于中檔題．