Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1． （Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a= 時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2bx﹣ ，若對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2， ，

∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=﹣2

（Ⅱ） =

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故當(dāng) 時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（2，+∞）．

（Ⅲ）當(dāng) 時，由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=

若對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值 （*）

又 ，x∈[0，1]

①當(dāng)b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)， 與（*）矛盾

②當(dāng)0≤b≤1時， ，由 及0≤b≤1得，

③當(dāng)b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)， ，

此時b＞1

綜上，b的取值范圍是

【解析】確定函數(shù)f（x）的定義域，并求導(dǎo)函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，求出f（1）=﹣2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；令f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng) 時，求得函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）= ；對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出 ，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．