Question

如圖，某開(kāi)發(fā)區(qū)旁邊有一條東北走向的公路l，開(kāi)發(fā)區(qū)內(nèi)有兩工廠(chǎng)A，B（B在A(yíng)正東4km），A工廠(chǎng)到公路l的距離為．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，解決下列問(wèn)題：
（Ⅰ）求公路l所在直線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）在公路l上有一站點(diǎn)M到A，B兩工廠(chǎng)路程之和最小，現(xiàn)要建一條經(jīng)過(guò)M的環(huán)行公路，使公路上每一點(diǎn)到A，B兩工廠(chǎng)路程之和相等，求環(huán)行公路所在曲線(xiàn)的方程；
（Ⅲ）開(kāi)發(fā)區(qū)內(nèi)有一物資儲(chǔ)藏庫(kù)C位于B工廠(chǎng)西北距B工廠(chǎng)，在（Ⅱ）中的環(huán)行公路上設(shè)一站點(diǎn)N，使站點(diǎn)N到C，B兩地的距離之和最小．試問(wèn)：滿(mǎn)足要求的點(diǎn)N在什么位置（不要證明），并求|NC|+|NB|的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以A，B所在直線(xiàn)為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），設(shè)直線(xiàn)l的方程：y=x+m，由點(diǎn)A到l的距離為可得關(guān)于m的方程．解出m后即得l的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）設(shè)所求曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則由題意知點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸最短的橢圓．設(shè)此橢圓的方程為，則方程組有唯一解，消元后
令△=0可得b²=4，進(jìn)而得a²=8；
（Ⅲ）由題意知C（1，1），在（Ⅱ）中的環(huán)行公路上設(shè)一站點(diǎn)N，使站點(diǎn)N到C，B兩地的距離之和最小，即在上求一點(diǎn)N，使|NC|+|NB|最小．當(dāng)N為直線(xiàn)l_AC：x-3y+2=0與橢圓交點(diǎn)之一時(shí)，|NC|+|NB|最小，通過(guò)解方程組可得求；
解答：解：以A，B所在直線(xiàn)為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），
（Ⅰ） 設(shè)直線(xiàn)l的方程：y=x+m，則由題意知m＞2，直線(xiàn)l在點(diǎn)A的右上方，
，
由m＞2得，∴直線(xiàn)l的方程：；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）設(shè)所求曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則由題意知點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸最短的橢圓．
設(shè)此橢圓的方程為，則方程組有唯一解，
，，
△=48b⁴+8b²（b²-8）（b²+2）=4b²（b⁴-16）=0，b²=4，a²=8，
所求橢圓的方程為；
（Ⅲ）由題意知C（1，1），
在（Ⅱ）中的環(huán)行公路上設(shè)一站點(diǎn)N，使站點(diǎn)N到C，B兩地的距離之和最小，
即在上求一點(diǎn)N，使|NC|+|NB|最�。�
顯然，當(dāng)N為直線(xiàn)l_AC：x-3y+2=0與橢圓交點(diǎn)之一時(shí)，|NC|+|NB|最小，
由方程組，得（3y-2）²+2y²-8=11y²-12y-4=0，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題、橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力．