Question

（1）18世紀(jì)的時(shí)候，歐拉通過研究，發(fā)現(xiàn)凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿足一個(gè)等式關(guān)系．請你研究你熟悉的一些幾何體（如三棱錐、三棱柱、正方體…），歸納出F、V、E之間的關(guān)系等式：

V+F-E=2

；
（2）運(yùn)用你得出的關(guān)系式研究如下問題：一個(gè)凸多面體的各個(gè)面都是三角形，則它的面數(shù)F可以表示為頂點(diǎn)數(shù)V的函數(shù)，此函數(shù)關(guān)系式為

F=2V-4

．

多面體	面數(shù)（F）	頂點(diǎn)數(shù)（V）	棱數(shù)（E）
三棱錐	4	4	6
三棱柱	5	6	…
正方體	…	…	…
…	…	…	…

Answer 1

分析：（1）通過列舉正方體、三棱柱、三棱錐的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E，得到規(guī)律：V+F-E=2，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)此公式對任意凸多面體都成立，由此得到本題的答案．
（2）根據(jù)各個(gè)面都是三角形的多面體的構(gòu)造特點(diǎn)及歐拉公式V+F-E=2可得函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）凸多面體的面數(shù)為F、頂點(diǎn)數(shù)為V和棱數(shù)為E，舉例如下
①正方體：F=6，V=8，E=12，得V+F-E=8+6-12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得V+F-E=5+6-9=2；
③三棱錐：F=4，V=4，E=6，得V+F-E=4+4-6=2．
根據(jù)以上幾個(gè)例子，猜想：凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿足如下關(guān)系：V+F-E=2
再通過舉四棱錐、六棱柱、…等等，發(fā)現(xiàn)上述公式都成立．
因此歸納出一般結(jié)論：V+F-E=2
（2）一個(gè)多面體的各個(gè)面都是三角形，這個(gè)多面體的棱數(shù)E=

3

2

F，
∵V+F-E=2，
∴V+F-

3

2

F=2，
∴F=2V-4．
故答案為：V+F-E=2；F=2V-4．

點(diǎn)評：本題由幾個(gè)特殊多面體，觀察它們的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，歸納出一般結(jié)論，得到歐拉公式，著重考查了歸納推理和凸多面體的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．