已知函數(shù)f(x)=
xx2+1
．
（1） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷并證明當x∈（-1，1）時函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（2）成立的條件下，解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．
分析：（1）由于函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，故我們可利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷方法來解答問題；
（2）由函數(shù)f（x）的解析式，我們易求出原函數(shù)的導函數(shù)的解析式，結(jié)合x∈（-1，1），確定導函數(shù)的符號，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，我們可將原不等式轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．
解答：解：（1）∵y=x2+1為偶函數(shù)，y=x為奇函數(shù)
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，我們易得
函數(shù)f(x)=
x
x2+1
為奇函數(shù)．
（2）當x∈（-1，1）時
∵函數(shù)f(x)=
x
x2+1

f'（x）=
1-x2
(x2+1)2
＞0恒成立
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）在（2）成立的條件下，不等式f（2x-1）+f（x）＜0可化為：
-1＜2x-1＜1
-1＜x＜1
x＜1-2x

解得：0＜x＜
1
3

∴不等式的解集為(0，
1
3
)．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷及函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，其中熟練掌握各種函數(shù)的性質(zhì)及應用是解答本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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