Question

比較大小：

（1）log_0.27和log_0.29；                           

（2）log₃5和log₆5；

（3）（lgm）^1.9和（lgm）^2.1（m＞1）；       

（4）log₈5和lg4.

Answer 1

思路解析：本題大小比較代表了幾個典型的題型.其中題（1）是直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；題（2）是對數(shù)函數(shù)底數(shù)變化規(guī)律的應(yīng)用；題（3）是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用；題（4）是中間量的運(yùn)用.當(dāng)兩個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都不相同時，需要找出中間量來“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的增減性.常用的中間量有0、1、2等可通過估算加以選擇.

（1）log_0.27和log_0.29可看作是函數(shù)y=log_0.2x當(dāng)x=7和x=9時對應(yīng)的兩函數(shù)值，由y=log_0.2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，得log_0.27＞log_0.29.

（2）考察函數(shù)y= log_a x底數(shù)a＞1的底數(shù)變化規(guī)律，函數(shù)y=log₃x（x＞1）的圖象在函數(shù)y=log_6x（x＞1）的上方，故log₃5＞log₆₅.

（3）把lgm看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，要比較兩數(shù)的大小，關(guān)鍵是比較底數(shù)lgm與1的關(guān)系.若lgm＞1即m＞10，則（lgm）^x在R上單調(diào)遞增，故（lgm）^1.9＜（lgm）^2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，則（lgm）^x在R上單調(diào)遞減，故（lgm）^1.9＞（lgm）^2.1.若lgm=1即m=10，則（lgm）^1.9=（lgm）^2.1.

（4）因為底數(shù)8、10均大于1，且10＞8，所以log₈5＞lg5＞lg4，即log₈5＞lg4.

答案：（1）log_0.27＞log_0.29.（2）log₃5＞log₆5.（3）m＞10時，（lgm）^1.9＜（lgm）^2.1;m=10時，lgm=1，（lgm）^1.9=（lgm）^2.1;1＜m＜10時，（lgm）^1.9＞（lgm）^2.1.（4）log₈5＞lg4.