Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）若，，求在上的最小值；

（3）若，，有三個(gè)不同實(shí)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；（2）0；（3）.

【解析】

（1）由判斷即可得解；

（2）由分段函數(shù)求值域問(wèn)題分，，，，討論即可；

（3）由方程與函數(shù)的關(guān)系可得有三個(gè)不同實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)求函數(shù)的單調(diào)性及值域即可得解.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

則，

故為奇函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，，

又，

①當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在為增函數(shù)，可得；

②當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

由，

可得當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，由，可得；

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為即；

（3）因?yàn)?/span>，且有三個(gè)不同實(shí)根，

則函數(shù)不單調(diào)，且，

因?yàn)?/span>，又，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則時(shí)，函數(shù)不單調(diào)，要使函數(shù)有三個(gè)不同實(shí)根，則，即，即，

故，

故的取值范圍為：.