【題目】如圖，已知拋物線：與圓： （）相交于， ， ，四個點，

（1）求的取值范圍；

（2）設四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.

【答案】（1）（2）點的坐標為

【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關于的一元二次方程, 拋物線與圓有四個交點需滿足關于的一元二次方程在上有兩個不等的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關性質即可得到關于的不等式組,解不等式即可.

不妨設拋物線與圓的四個交點坐標為，，，，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點坐標,再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關于的面積函數(shù)進行求導，判斷其單調性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標.

（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程

消去，得.

由題意可知在上有兩個不等的實數(shù)根.

所以解得，

所以的取值范圍為.

（2）根據(jù)（1）可設方程的兩個根分別為，（），

則，，，，

且，，

所以直線、的方程分別為

，

,

聯(lián)立方程可得,點的坐標為，

因為四邊形為等腰梯形,

所以

，

令，則，

所以，

因為,所以當時,；當時,，

所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，四邊形的面積取得最大值，

因為,點的坐標為,

所以當四邊形的面積取得最大值時,點的坐標為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點，，，，為橢圓的四個頂點（如圖），直線過右頂點且垂直于軸．

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）為上一點（軸上方），直線，分別交橢圓于，兩點，若，求點的坐標．

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【題目】如圖空間幾何體中，與，均為邊長為的等邊三角形，平面平面，平面平面．

（1）試在平面內作一條直線，使得直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明；

（2）求二面角的余弦值．

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【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，E是線段SD上一點.

（1）若E是SD的中點，求證：SB∥平面ACE；

（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝2，且DEDS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)

（1）若，求的最大值；

（2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱為的“伴隨函數(shù)”.已知函數(shù)，.若在區(qū)間上，函數(shù)是的“伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，正實數(shù)滿足，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2000個學員第1次參加科目二考試進行了統(tǒng)計，得到下表：

考試情況

男學員

女學員

第1次考科目二人數(shù)

1200

800

第1次通過科目二人數(shù)

960

600

第1次未通過科目二人數(shù)

240

200

若以上表得到的男、女學員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.

（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；

（2）若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為元，求的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓與拋物線在第一象限的交點為，橢圓的左、右焦點分別為，其中也是拋物線的焦點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線（不與軸重合）交橢圓于兩點，點為橢圓的左頂點，直線分別交直線于點，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖， 在四棱錐中， 底面， ，， ，，點為棱的中點.

（1）證明：：

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若為棱上一點， 滿足， 求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；

（2）已知點是曲線上的任意一點，又直線上有兩點和，且，又點的極角為，點的極角為銳角.求：

①點的極角；

②面積的取值范圍.

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