Question

【題目】如圖,在三棱錐中,底面,,.D,E分別為,的中點,過的平面與,相交于點M,N(M與P,B不重合,N與P,C不重合).

(1)求證:;

(2)求直線與平面所成角的大小;

(3)若直線與直線所成角的余弦值時,求的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)(3)

【解析】

(1)為的中位線,從而得到,然后根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可得到,從而,即;

(2)過B作,容易說明,,三條直線互相垂直,從而以B為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,這樣即可求得,,的坐標(biāo).從而可求出平面的一個法向量坐標(biāo),設(shè)直線與平面所成角為,根據(jù)即可求出;

(3)根據(jù)圖形設(shè),由M點在棱上,便可得到,從而表示M為,根據(jù)直線與直線所成角的余弦值,設(shè)直線與直線所成角為,從而通過即可求出,從而求出M點坐標(biāo),由兩點間距離公式即可求出.

(1)證明:∵D,E分別為,的中點;

∴,平面,平面;

∴平面,平面平面;

∴;

∴;

(2)如圖,在平面內(nèi)作,則根據(jù):

底面,及即知,,,兩兩垂直;

∴以B為坐標(biāo)原點,,,所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則:

,,,;

∴,,,;

設(shè)平面的法向量為;

則由得:

,令,得,;

∴;

設(shè)直線和平面所成角為,則:

;

又;

∴;

即直線和平面所成角為;

(3)設(shè),M在棱上,則:,();

∴;

∴,;

∴,;

因為直線與直線所成角的余弦值;

設(shè)直線和直線所成角為;

所以;

∴;

解得,或(舍去);

∴;

∴.