【題目】已知圓，設(shè)點(diǎn)為圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且滿足的中點(diǎn)在軸上.

（1）當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，、為曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且在、兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)在直線上，證明：直線過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求得線段的中點(diǎn)，由結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)、的切線方程，并將兩切線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出，再將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得的值，進(jìn)而可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）依題意，設(shè)，則弦中點(diǎn)，

由得，即；

（2）設(shè)、，

依題意可設(shè)拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交點(diǎn)為，

設(shè)直線的方程為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，

所以，拋物線在點(diǎn)處的切線為，即，

拋物線在點(diǎn)處的切線為，即，

聯(lián)立，解得，所以，

聯(lián)立直線與曲線的方程得，消去得，

由韋達(dá)定理得，解得，

所以，直線的方程為，過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）若，討論的單調(diào)性；

（3）若，為在上的最小值，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，為正三角形，為線段的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）若與平面所成角的大小為60°，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，底面，，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)E，使與底面所成的角為45°？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，，直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn).

（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:（）的離心率為，且橢圓C的中心O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P，M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，連接交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線的斜率取值范圍，并證明直線與x軸相交于定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年新型冠狀病毒疫情爆發(fā)，貴州省教育廳號(hào)召全體學(xué)生“停課不停學(xué)”.自月日起，高三年級(jí)學(xué)生通過收看“陽光校園·空中黔課”進(jìn)行線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).為了檢測(cè)線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效果，某中學(xué)隨機(jī)抽取名高三年級(jí)學(xué)生做“是否準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)”的問卷調(diào)查，并組織了一場(chǎng)線上測(cè)試，調(diào)查發(fā)現(xiàn)有名學(xué)生每天準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)，根據(jù)他們的線上測(cè)試成績(jī)得頻率分布直方圖(如圖所示)；另外名學(xué)生偶爾沒有準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)，根據(jù)他們的線上測(cè)試成績(jī)得莖葉圖(如圖所示，單位：分)

（1）成績(jī)不低于分為等，低于分為非等.完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為成績(jī)?nèi)〉?/span>等與每天準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)有關(guān)？

準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)與成績(jī)等次列聯(lián)表

單位：人

A等

非A等

合計(jì)

每天準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)

偶爾沒有準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)

合計(jì)

（2）成績(jī)低于分為不合格，從這名學(xué)生里成績(jī)不合格的學(xué)生中再抽取人，其中每天準(zhǔn)時(shí)提交作業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為( )

A.B.C.D.

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