Question

已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)₁、F₂是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，S△PF1F2=12

3

．該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

12

=1

．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的定義列出一方程，在△F₁PF₂中利用余弦定理得到一方程，利用三角形的面積公式得一方程，利用雙曲線的離心率公式得一方程，解方程組求出雙曲線的方程．

解答：解：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n則有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=60°
由余弦定理得
m²+n²-2mncos60°=4c²②
∵S_△PF1F2=12

3

∴

1

2

mnsin60°=12

3

③
∵離心率為2
∴

c

a

=2④
解①②③④a=2，c=4
∴b²=c²-a²=12
雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程問(wèn)題，一般利用的方法是待定系數(shù)法；解圓錐曲線上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，一般考慮余弦定理及三角形的面積公式．