Question

將一塊圓心角為120°，半徑為20 cm的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有2種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：對甲種裁法分析設(shè)∠MOA=θ，則矩形的一邊為20sinθ，一邊為20cosθ，則得出面積，利用正弦函數(shù)取最值的方法求出最大面積；對乙種裁法分析設(shè)∠MOA=α利用三角函數(shù)表示出長為40sin（60°-α），再用相似三角形求得寬，進(jìn)而表示出面積，利用余弦函數(shù)取最大值的方法求出最大面積．比較看哪個(gè)面積大即可．

解答：解：對圖甲，設(shè)∠MOA=θ，則S₁=200sin2θ．
∴當(dāng)θ=45°時(shí)，（S₁）_max=200cm²．
對圖乙，設(shè)∠MOA=α，
則S₂=

800 3

3

[cos（2α-60°）-cos60°]．
當(dāng)α=30°時(shí)，（S₂）_max=

400 3

3

cm²．
∵

400 3

3

＞200，
∴用乙種方法好．

點(diǎn)評：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)的能力，求正弦函數(shù)最值的能力．