Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）設(shè)a=

5

3

，求函數(shù)f（x）在[0，5]上的最大值和最小值；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，計(jì)算端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到結(jié)論；
（2）f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．

解答：解：（1）當(dāng)a=

5

3

時(shí)f′（x）=3x²-10x-3=（x-3）（3x-1）
令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=3．

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	( 1 3 ，3)	3	（3，5）	5
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1?		40 27	?	-8	?	16

∴f（x）在[0，5]上的最大值為16，最小值為-8．
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程3x²-6ax+3=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

(x+

1

x

)，
令g(x)=

1

2

(x+

1

x

)，求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=

1

2

(1-

1

x2

)
∴g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，
∴

5

4

＜

1

2

(x+

1

x

)＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此時(shí)滿足△＞0，
故a的取值范圍是

5

4

＜a＜

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．