Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中， ，點(diǎn)P為線段A1C上的動(dòng)點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的 ． ①當(dāng) 時(shí)，D1P∥平面BDC1；
②當(dāng) 時(shí)，A1C⊥平面D1AP；
③當(dāng)∠APD1的最大值為90°；
④AP+PD1的最小值為 ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=1，則AD=1，AB= ，設(shè) ；（λ≥1） 則A（1，0，0），C（0， ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0， ，1），B（1， ，0）
， ，
對(duì)于①，設(shè)平面DBC1的法向量為
由 可得

若D1P∥平面BDC1 ， 則 ，解得λ=3，故①正確．
對(duì)于②，若A1C⊥平面D1AP，則 ，解得λ=5，故②正確；
對(duì)于③， ＜0 （λ≥1）有解，故∠APD1可以大于900 ． 所以③錯(cuò)；
對(duì)于④，∵ =0時(shí)，λ=2，此時(shí)AP+PD1= ，
當(dāng)λ＞2時(shí)，∠APD1為鈍角此時(shí)AP+PD1小于 ，故④錯(cuò)
綜上，所以答案是：①②．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系即可以解答此題．