Question

按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為

m

m+a

；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為

a

n+a

．如果一個(gè)人對兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為

h1h2

．現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為m_A元和m_B元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h_乙
（1）求h_甲和h_乙關(guān)于m_A、m_B的表達(dá)式；當(dāng)mA=

3

5

mB時(shí)，求證：h_甲=h_乙；
（2）設(shè)mA=

3

5

mB，當(dāng)m_A、m_B分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h₀，試問能否適當(dāng)選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立？試說明理由．

Answer 1

（1）甲：買進(jìn)A的滿意度為h_A1=

12

mA+12

，賣出B的滿意度為h_B1=

mB

mB+5

；
所以，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h_甲=

hA1?hB1

=

12 mA+12 × mB mB+5

=

12mB (mA+12)( mB+5)

；
乙：賣出A的滿意度為：h_A2=

mA

mA+3

，買進(jìn)B的滿意度為：h_B2=

20

mB+20

；
所以，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度h_乙=

hA2?hB2

=

mA mA+3 × 20 mB+20

=

20mA (mA+3)( mB+20)

；
 當(dāng)mA=

3

5

mB時(shí)，h_甲=

12mB ( 3 5 mB+12)(mB+5)

=

20mB (mB+20)( mB+5)

，
h_乙=

20× 3 5 mB ( 3 5 mB+3)(mB+20)

=

20mB (mB+5)(mB+20)

，所以h_甲=h_乙
（2）設(shè)m_B=x（其中x＞0），當(dāng)mA=

3

5

mB時(shí)，
h_甲=h_乙=

20x (x+5)(x+20)

=

20 x+ 100 x +25

≤

20 2 x? 100 x +25

=

20 45

=

2

3

；
當(dāng)且僅當(dāng)x=

100

x

，即x=10時(shí)，上式“=”成立，即m_B=10，m_A=

3

5

×10=6時(shí)，
甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，最大綜合滿意度為

2

3

（3）不能由（2）知h₀=

2

3

．因?yàn)閔_甲h_乙≤

4

9

因此，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立．?