(本小題12分)若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(1) 判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明你的結論；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

（12分）(1) 函數(shù)只有一個零點。

證明， ． 

當時，．當時，，此時函數(shù)遞減；

 當時，，此時函數(shù)遞增；∴當時，取極小值，其極小值為．

所以函數(shù)只有一個零點。

(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，

因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當時恒成立

， 由，得．

下面證明當時恒成立．令，

則， 當時，．

當時，，此時函數(shù)遞增；當時，，此時函數(shù)遞減；∴當時，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．

 ∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(1)可知當時， (當且當時取等號) ．

若存在和的隔離直線，則存在實常數(shù)和，

使得和恒成立，

令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省石家莊市高三下學期第二次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分12分）

已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.

(I )求拋物線C的方程；

(II)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存 在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年貴州省高三第一次月考理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：

 

的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot∠MON ≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存

 

在，請說明理由.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學期期末考試數(shù)學文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B.

    （Ⅰ）求橢圓C的方程；

    （Ⅱ）是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年遼寧省高二下學期期中考試理科數(shù)學 題型：解答題

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，為實數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行.

（I）求實數(shù)a的取值范圍；

（II）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存

在，請說明理由；

（Ⅲ）設

求證：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 (本小題滿分12分)  如圖所示，已知圓為圓上一動點，點在上，點在上，且滿足的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率為k的動直線交曲線于A、B兩點，在y軸上是否存在定點G，滿足使四邊

形為矩形？若存在，求出G的坐標和四邊形面積的最大值；若不存

在，說明理由。

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