Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₄=20，a₃=8；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=anlog

1

2

an，數列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接把條件用首項和公比表示出來，求出首項和公比即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）先求數列{b_n}的通項公式及前n項和為S_n，再代入S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50整理即可求出S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
依題意，有

a1q+a1q3 =20 a3=a1q2=8

，解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

；（4分）
又{a_n}單調遞增，∴

q=2 a1=2

，
∴a_n=2ⁿ．（6分）
（2）依題意，bn=2n•log

1

2

2n=-n•2n，（8分）
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①，
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹②，
∴①-②得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2；（10分）
∴S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50即為2ⁿ⁺¹-2＞50，∴2ⁿ⁺¹＞52，
∵當n≤4時，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52．
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值為5．（12分）

點評：本題考查數列與函數的綜合以及數列與不等式的綜合．在第二問中涉及到數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．