Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個點列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），滿足向量與向量共線，且點列{B_n}在斜率為6的直線上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）試用a₁，b₁與n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）設(shè)a₁=a，b₁=-a，在a₆與a₇兩項中至少有一項是數(shù)列{a_n}的最小項，試求實數(shù) a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為點列{B_n}在斜率為6的直線上，利用斜率公式即可得數(shù)列{b_n}的遞推公式，進而由等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（II）由已知向量與向量共線，知直線A_nA_n+1與直線B_nC_n的斜率相等，利用斜率公式即可得數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，最后利用累加法和等差數(shù)列的前n項和公式即可得；
（III）將數(shù)列{a_n}的通項公式用a表示，發(fā)現(xiàn)其函數(shù)模型為二次函數(shù)，在a₆與a₇兩項中至少有一項是數(shù)列{a_n}的最小項，則確定了對稱軸的范圍，從而解得a的范圍
解答：解：（Ⅰ）點列{B_n}在斜率為6的直線上，有 
故數(shù)列{b_n}是公差為6的等差數(shù)列．                        
（Ⅱ）由向量與向量共線，得直線A_nA_n+1與直線B_nC_n的斜率相等
即，
∴
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴=
∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
設(shè)二次函數(shù)f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是開口方向向上的拋物線
又∵在a₆與a₇兩項中至少有一項是數(shù)列{a_n}的最小項，則對稱軸為在區(qū)間[]內(nèi)，
即
∴24≤a≤36
點評：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式的應(yīng)用，累加法求數(shù)列的通項公式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)