已知二階矩陣M=(
a1
0b
)有特征值λ1=2及對應(yīng)的一個特征向量
e
1
=
1
1

(Ⅰ)求矩陣M;
(II)若
a
=
2
1
,求M10
a

(2)已知直線l:
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
(t為參數(shù)),曲線C1
x=cosθ
y=sinθ
  (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)l與C1相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|;
(Ⅱ)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的
1
2
倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的
3
2
倍,得到曲線C2C,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個動點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
(3)已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(Ⅰ)當(dāng)m=5時,求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范圍.
分析:(1)(Ⅰ)利用二級矩陣與平面列向量的乘法法則,可得結(jié)論;
(Ⅱ)確定矩陣M的特征多項(xiàng)式,確定矩陣M的另一個特征值,進(jìn)而可得
a
=
e1
+
e2
,由此可求M10
a
;
(2)(Ⅰ)將l、曲線C1,化為普通方程,聯(lián)立方程組,解得l與曲線C1的交點(diǎn)坐標(biāo),可求|AB|;
(II)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)是(
1
2
cosθ,
3
2
sinθ
),求出點(diǎn)P到直線l的距離,即可求得最小值;
(3)(I)由題意|x+1|+|x-2|-5>0,由此可得函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)f(x)≥1等價于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R,則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,從而可求m的取值范圍.
解答:(1)解:(Ⅰ)依題意:
a1
0b
1
1
=2
1
1
,∴
a+1=2
b=2
∴a=1,b=2.…(3分)
(Ⅱ)由(1)知,矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)=(λ-1)(λ-2),
∴矩陣M的另一個特征值為λ2=1,…(4分)
設(shè)
e2
=
x
y
是矩陣M屬于特征值λ2=1的特征向量,則
11
02
x
y
=
x
y

x+y=x
2y=y
,取x=1,得
e2
=
1
0
,…(5分)
a
=
e1
+
e2
,∴M10
a
=λ110
e1
+λ210
e2
=210
1
1
+110
1
0
=
1025
1024
.…(7分)
(2)解:(I)l的普通方程為y=
3
(x-1),曲線C1的普通方程為x2+y2=1
聯(lián)立方程組
y=
3
(x-1)
x2+y2=1
,解得l與曲線C1的交點(diǎn)為A(1,0),B(
1
2
,-
3
2
),則|AB|=1.…(3分)
(II)C2的參數(shù)方程為
x=
1
2
cosθ
y=
3
2
sinθ
(θ為參數(shù)),故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(
1
2
cosθ,
3
2
sinθ),
從而點(diǎn)P到直線l的距離是d=
|
3
2
cosθ-
3
2
sinθ-
3
|
2
=
3
4
[
2
sin(θ-
π
4
)+2]
,
由此當(dāng)sin(θ-
π
4
)=-1
時,d取得最小值,且最小值為
6
4
(
2
-1)
.…(7分)
(3)(I)由題意|x+1|+|x-2|-5>0,令g(x)=|x+1|+|x-2|=
-2x+1,x≤-1
3,-1<x<2
2x-1,x≥2

解得x>3或x<-2,∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>3或x<-2}…(3分)
(Ⅱ)f(x)≥1,∴l(xiāng)og2(|x+1|+|x-2|-m)≥1=log22,即|x+1|+|x-2|-m≥2.
由題意,不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R,則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立.
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1,故m≤1.…(7分)
點(diǎn)評:本題是選作題,考查知識全面,考查學(xué)生分析解決問題的能力,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(A)4-2矩陣與變換
已知二階矩陣M的特征值是λ1=1,λ2=2,屬于λ1的一個特征向量是e1=
1
1
,屬于λ2的一個特征向量是e2=
-1
2
,點(diǎn)A對應(yīng)的列向量是a=
1
4

(Ⅰ)設(shè)a=me1+ne2,求實(shí)數(shù)m,n的值.
(Ⅱ)求點(diǎn)A在M5作用下的點(diǎn)的坐標(biāo).

(B)4-2極坐標(biāo)與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-
π
3
)=3
,曲線C的參數(shù)方程為
x=cosθ
y=3sinθ
,設(shè)P點(diǎn)是曲線C上的任意一點(diǎn),求P到直線l的距離的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(-1,2)變換成(3,0),求矩陣M.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
過點(diǎn)M(3,4),傾斜角為
π
6
的直線l與圓C:
x=2+5cosθ
y=1+5sinθ
(θ為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn),試確定|MA|•|MB|的值.
(3)選修4-5:不等式選講
已知實(shí)數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,試確定e的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)(矩陣與變換)已知二階矩陣M=
0-1
23

(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣;
(Ⅱ)設(shè)向量
α
=
-1
3
,求M100
α

(2)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=-1+2sinθ
(θ是參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ=
π
4
(ρ∈R).
(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的平面直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點(diǎn),求弦長|AB|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分,作答時,先在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號填入括號中.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣M=
a1
3d
有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
-3

(Ⅰ)求距陣M;
(Ⅱ)設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x2+2y2=1,求曲線C的方程.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為
x=2+t
y=t+1
(t
為參數(shù)),曲線P在以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O的為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的方程為p2-4pcosθ+3=0.
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C和曲線P的交點(diǎn)為A、B,求|AB|.
(3)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|,不等式t≤f(x)在x∈R上恒成立.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅱ)記t的最大值為T,若正實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=T,求a+2b+c的最大值.

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