Question

設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=

3x

2

；
當(dāng)x＞2時(shí)，y=f（x）的圖象是頂點(diǎn)在P（3，4），且過點(diǎn)A（2，3）的拋物線的一部分
（1）求函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在下面的直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f（x）的圖象，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，“當(dāng)x＞2時(shí)，y=f（x）的圖象是頂點(diǎn)在P（3，4），且過點(diǎn)A（2，3）的拋物線的一部分”，那么函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上圖象是頂點(diǎn)（-3，4）、過（-2，3）的拋物線的一部分，設(shè)頂點(diǎn)式即可求出解析式．
（2）畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象上升趨勢(shì)的是單調(diào)增區(qū)間，下降趨勢(shì)的是單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以“當(dāng)x＞2時(shí)，y=f（x）的圖象是頂點(diǎn)在P（3，4），且過點(diǎn)A（2，3）的拋物線的一部分”，
那么函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上圖象是頂點(diǎn)（-3，4）、過（-2，3）的拋物線的一部分，
設(shè)函數(shù)的解析式是f（x）=a（x-h）²+b，
則根據(jù)條件有

h=-3 b=4 a(-2-h)2+b=3

，解得：

h=-3 b=4 a=-1

，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的解析式為f（x）=-（x+3）²+4=-x²-6x-5．
（2）圖象如下圖所示：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-3）和（0，3），單調(diào)減區(qū)間為：（-3，0）和（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是：①利用偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱得到關(guān)于（-∞，-2）上圖象信息；②用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．