Question

已知C：x²+y²=1和C₁：+=1 （a＞b＞0）．試問：當且僅當a，b滿足什么條件時，對C₁上任意一點P，均存在以P為頂點，與C外切，與C₁內接的平行四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：利用PQRS是與C外切，與C₁內接的平行四邊形，可得PQRS是菱形，于是OP⊥OQ，設出P，Q的坐標，在直角△POQ中，可得，利用點在曲線上，即可求得結論．
解答：解：設PQRS是與C外切，與C₁內接的平行四邊形，則PQRS是菱形，于是OP⊥OQ

設P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
則在直角△POQ中，+=，即
∵=1，即
同理，，相加可得
反之，若成立，則取P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
可得即，，
∴
此時PQ與C₂相切，即存在滿足條件的平行四邊形．
點評：本題考查圓與橢圓知識的綜合，考查學生的分析解決問題能力，考查計算能力，綜合性強．