已知點F(0,1),點P在x軸上運動,M點在y軸上,N為動點,且滿足,
(1)求動點N的軌跡C方程;
(2)由直線y=-1上一點Q向曲線C引兩條切線,切點分別為A,B,求證:AQ⊥BQ.
【答案】分析:(1)首先根據(jù)分別表示出P,M的坐標;然后根據(jù)兩個條件即可求出動點N的軌跡C方程.
(2)根據(jù)兩條直線斜率k均存在,故直接設出兩切線方程,代入曲線C的方程,化簡為一元二次方程,根據(jù)判別式△=0得到一個關(guān)系式,根據(jù)韋達定理易得出兩根之積為-1,即兩斜率之積為-1,易得出兩直線垂直
解答:解:(1)設N(x,y).
,
故P的坐標為(,0),M(0,-y),
于是,,

即得曲線C的方程為x2=4y
(2)設Q(m,-1).
由題意,兩條切線的斜率k均存在,
故可設兩切線方程為y=k(x-m)-1.
將上述方程代入x2=4y,
得x2-4kx+4km+4=0.
依題意,△=(-4k)2-4(4km+4)=0,
即k2-mk-1=0.
上述方程的兩根即為兩切線的斜率,
由根與系數(shù)的關(guān)系,其積為-1,即它們所在直線互相垂直
∴AQ⊥BQ
點評:本題考查求點的運動軌跡方程問題和直線與圓錐曲線相切問題,涉及到一元二次方程判別式與韋達定理的問題,屬于難題
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,點P到點F的距離等于點P到直線l的距離.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)已知圓M過定點D(0,2),圓心M在軌跡C上運動,且圓M與x軸交于A、B兩點,求|AB|.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)已知圓M過定點D(0,2),圓心M在軌跡C上運動,且圓M與x軸交于A、B兩點,設|DA|=l1,|DB|=l2,求
l1
l2
+
l2
l1
的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知點F(0,1),直線L:y=-2,及圓C:x2+(y-3)2=1.
(1)若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1,求動點M的軌跡E的方程;
(2)過點F的直線g交軌跡E于G(x1,y1)、H(x2,y2)兩點,求證:x1x2 為定值;
(3)過軌跡E上一點P作圓C的切線,切點為A、B,要使四邊形PACB的面積S最小,求點P的坐標及S的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•石家莊二模)在平面直角坐標系中,已知點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面內(nèi)動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且
QF
•(
QP
+
FP
)=0

(Ⅰ)求動點P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)過點M(0,m)(m>0)的直線AB與曲線E交于A、B兩個不同點,設∠AFB=θ,若對于所有這樣的直線AB,都有θ∈(
π
2
,π].求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•嘉定區(qū)二模)如圖,已知點F(0,1),直線m:y=-1,P為平面上的動點,過點P作m的垂線,垂足為點Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)(文)過軌跡C的準線與y軸的交點M作方向向量為
d
=(a,1)的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B,問是否存在實數(shù)a使得FA⊥FB?若存在,求出a的范圍;若不存在,請說明理由;
(3)(文)在問題(2)中,設線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D(0,y0),求y0的取值范圍.

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