Question

已知（1+2

x

）ⁿ展開式中某項(xiàng)的系數(shù)恰為它的前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

，求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出相鄰三項(xiàng)的系數(shù)，據(jù)題意，列出方程，利用組合數(shù)公式先求出n的值；再設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為第s+1項(xiàng)，令它的系數(shù)大于等于第s項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于第s+1項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組，利用組合數(shù)公式求出s的值，求出二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)該項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

解得

r=4 n=7.

，∴n=7．
設(shè)第s+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有

C s 7 2s≥ C s-1 7 2s-1 C s 7 2s≥ C s+1 7 2s+1

即

2 C s 7 ≥ C s-1 7 C s 7 ≥2 C s+1 7

亦即

2 7! s!(7-s)! ≥ 7! (s-1)!(7-s+1)! 7! s!(7-s)! ≥2 7! (s+1)!(7-s-1)!

解得

2 s ≥ 1 8-s 1 7-s ≥ 2 s+1

，

13

3

≤s≤

16

3

，∴s=5
∴二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₆=672x  

5

2

．

點(diǎn)評：本題以二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為載體，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，求展開式的特殊項(xiàng)問題時(shí)采用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法是設(shè)出系數(shù)最大的項(xiàng)，令該項(xiàng)的系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)等于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)．