根據函數單調性的定義，證明函數f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是減函數．
分析：利用原始的定義進行證明，在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要證f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分別代入函數f （x）=-x3+1進行證明．
解答：證明：證法一：在（-∞，+∞）上任取x
1，x
2且x
1＜x
2則f（x
2）-f（x
1）=x
13-x
23=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）
∵x
1＜x
2，
∴x
1-x
2＜0．
當x
1x
2＜0時，有x
12+x
1x
2+x
22=（x
1+x
2）
2-x
1x
2＞0；
當x
1x
2≥0時，有x
12+x
1x
2+x
22＞0；
∴f（x
2）-f（x
1）=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）＜0．
即f（x
2）＜f（x
1）
所以，函數f（x）=-x
3+1在（-∞，+∞）上是減函數．
證法二：在（-∞，+∞）上任取x
1，x
2，且x
1＜x
2，
則f（x
2）-f（x
1）=x
13-x
23=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）．
∵x
1＜x
2，
∴x
1-x
2＜0．
∵x
1，x
2不同時為零，
∴x
12+x
22＞0．
又∵x
12+x
22＞
（x
12+x
22）≥|x
1x
2|≥-x
1x
2∴x
12+x
1x
2+x
22＞0，
∴f（x
2）-f（x
1）=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）＜0．
即f（x
2）＜f（x
1）．
所以，函數f（x）=-x
3+1在（-∞，+∞）上是減函數．
點評：此題主要考查函數的單調性，解題的關鍵是利用原始定義進行證明，是一道基礎題．
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