Question

已知方程tan²x一tan x+1=0在x[0，n)( nN*)內(nèi)所有根的和記為a_n

(1)寫(xiě)出a_n的表達(dá)式；(不要求嚴(yán)格的證明)

(2)記S_n = a₁ + a₂ +…+ a_n求S_n；

(3)設(shè)b_n =(kn一5) ，若對(duì)任何nN* 都有a_nb_n，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) =(n²一) (2)  (3) k4

【解析】

試題分析：解:( 1)解方程得tanx=或,當(dāng)n=1時(shí),x=或,此時(shí)=,

當(dāng)n=2時(shí),x=,,+,+,∴=+(+2)

依次類(lèi)推:=+(+2)+…+[+2(n一1) ],

∴=(n²一)

(2) =(1² +2² +…+n² ) 一 (1+2+…+n)

=

=

(3)由得(n2—) (kn一5) ,

∴knn²一+5 ∵n∈N*,∴kn+一,

設(shè)= n+一,

易證在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增

∵n∈N*,=4,=4∴n=2,_min =4,

∴k4

考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的累加法來(lái)求解其通項(xiàng)公式，同時(shí)能利用分組求和來(lái)得到和式，屬于基礎(chǔ)題。