Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為AD₁中點(diǎn)
（I）求三棱錐C-PDB的體積
（II）在對(duì)角線A₁C上是否存在一點(diǎn)Q，使得AD₁∥平面QBD，若存在，求出

A1Q

QC

；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為AD₁中點(diǎn)，則V_C-PDB=C_P-BCD，求出棱錐的高和底面面積，代入棱錐體積公式即可求出答案；
（II）連接BC₁，DC₁，由線面平行的判定定理，易得AD₁∥平面BDC₁，則直線A₁C與平面BDC₁的交點(diǎn)即為Q，根據(jù)正方體的性質(zhì)易得到

A1Q

QC

的值．

解答：解：（I）∵P為AD₁中點(diǎn)
故P點(diǎn)到底面ABCD的距離等于棱長(zhǎng)的一半

1

2

又∵S_△BCD=

1

2

∵V_C-PDB=C_P-BCD=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

；
（II）連接BC₁，DC₁，
∵AD₁∥BC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁，
令A(yù)₁C∩平面BDC₁=Q
由正方體的幾何特征易得A₁C⊥平面BDC₁，
且A₁Q=2QC
故

A1Q

QC

=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定與性質(zhì)，三棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是利用等體積法將求三棱錐C-PDB的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐P-CDB的體積，（II）的關(guān)鍵是找到滿足條件的Q點(diǎn)的位置．