在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點O．
（1）求動點P的軌跡W的方程；
（2）過點E（0，-4）的直線l與軌跡W交于兩點A，B，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，試判斷直線A′B是否恒過一定點，并證明你的結(jié)論．

解：（1）由題意可得OP⊥OM，所以，即（x，y）•（x，-4）=0
即x2-4y=0，即動點P的軌跡w的方程為x2=4y
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-4，A（x1，y1），B（x2，y2），則A′（-x1，y1）．
由消y整理得x2-4kx+16=0
則x1+x2=4k，x1x2=16
直線
∴
∴
即，所以，直線A′B恒過定點（0，4）．
分析：（1）根據(jù)點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點O，可知OP⊥OM，所以，即（x，y）•（x，-4）=0，化簡可得動點P的軌跡W的方程；
（2）直線l與軌跡W的方程聯(lián)立，進而可求直線A′B的方程，由此，可判斷是否恒過一定點
點評：本題以軌跡為載體，考查曲線方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，同時考查直線恒過定點問題，有一定的綜合性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點F（1，0），直線l：x=-1，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求動點Q的軌跡的方程；
（2）記Q的軌跡的方程為E，過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點分別為M，N．求證：直線MN必過定點R（3，0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點P（x1，y1）、Q（x2，y2），定義：d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|． 已知點B（1，0），點M為直線x-2y+2=0上的動點，則使d（B，M）取最小值時點M的坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點F(
1
2
，0)，直線l：x=-
1
2
，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（ I） 求動點Q的軌跡的方程C；
（ II） 設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運動時弦長|TS|是否為定值？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•威海二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點F（0，p）（p＞0），直線l：y=-p，點p在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點，過R、P分別作直線l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l l1∩l2=Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線，設(shè)切點為A、B，求證：直線AB恒過一定點；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當(dāng)直線MA，MF，MB的斜率存在時，直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•海淀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點O．
（1）求動點P的軌跡W的方程；
（2）過點E（0，-4）的直線l與軌跡W交于兩點A，B，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，試判斷直線A′B是否恒過一定點，并證明你的結(jié)論．

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