Question

設S_n是公差為d（d≠0）的無窮等差數列{a_n}的前n項和，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若d＜0，則列數{S_n}有最大項
B．若數列{S_n}有最大項，則d＜0
C．若數列{S_n}是遞增數列，則對任意n∈N^*，均有S_n＞0
D．若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則數列{S_n}是遞增數列

Answer 1

【答案】分析：由題意，可根據數列的類型對數列首項的符號與公差的正負進行討論，判斷出錯誤選項
解答：解：對于選項A，若d＜0，則列數{S_n}有最大項是正確的，如果首項小于等于0，則S₁即為最大項，若首項為正，則所有正項的和即為最大項；
對于B選項，若數列{S_n}有最大項，則d＜0是正確的，若前n項和有最大項，則必有公差小于0；
對于選項C，若數列{S_n}是遞增數列，則對任意n∈N^*，均有S_n＞0是錯誤的，因為遞增數列若首項為負，則必有S₁＜0，故均有S_n＞0不成立，
對于選項D，若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則數列{S_n}是遞增數列，正確，這是因為若公差小于0，一定存在某個實數k，當n＞k時，以后所有項均為負項，故不正確；
綜上，選項C是錯誤的
故選C
點評：本題以數列的函數特性為背景考查命題真假的判斷，考查了分析判斷推理的能力，有一定的探究性