Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常數(shù)，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a=1時，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e2]上有兩解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點則f′（2）=0，可求出a的值，然后求出f′（1）得到切線的斜率，最后根據(jù)點斜式可求出切線方程；
（II）先求導函數(shù)，然后利用導數(shù)研究函數(shù)在[

1

e

，e2] 上的單調性，求出函數(shù)的極值和區(qū)間端點的函數(shù)值，從而可求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 定義域為（0，+∞），f′（x）=a×（-

1

x2

）+

1

x

=

x-a

x2

∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點，
∴f′（2）=

2-a

4

=0，解得a=2
∴f′（x）=

x-2

x2

∴f′（1）=-1
又f（1）=1
∴所求切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0為所求．…6分
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=

1

x

+lgx-1，f′（x）=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e2]，
當x∈[

1

e

，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，e²]時，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e2] 上唯一的極小值點，
∴[f（x）]_min=f（1）=0
又f（

1

e

）=e-2，f（e²）=

1

e2

+lge2-1=

1

e2

+1，f（

1

e

）-f（e²）=e-2-

1

e2

-1＜0
綜上，所求實數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤e-2}．…12分．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)在某點處的切線，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，同時考查了計算能力，屬于中檔題．