Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所得的利潤(rùn)依次為M萬(wàn)元和N萬(wàn)元，它們與投入資金x萬(wàn)元的關(guān)系可由經(jīng)驗(yàn)公式給出：M=

x

4

，N=

3

4

x-1

 （x≥1）．今有8萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，且乙商品至少要求投資1萬(wàn)元，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別是多少？共能獲得多大利潤(rùn)？

Answer 1

分析：設(shè)投入乙種商品的資金為x萬(wàn)元，則投入甲種商品的資金為（8-x）萬(wàn)元，故可知共獲利潤(rùn)y=

1

4

(8-x)+

3

4

x-1

 令

x-1

=t�。�0≤t≤

7

），則x=t²+1，從而y=

1

4

(7-t2)+

3

4

t=-

1

4

(t-

3

2

)2+

37

16

，由此可求獲最大利潤(rùn)時(shí)，投入甲種、乙種商品的資金．

解答：解：設(shè)投入乙種商品的資金為x萬(wàn)元，則投入甲種商品的資金為（8-x）萬(wàn)元，…（2分）
共獲利潤(rùn)y=

1

4

(8-x)+

3

4

x-1

        …（6分）
令

x-1

=t�。�0≤t≤

7

），則x=t²+1，
∴y=

1

4

(7-t2)+

3

4

t=-

1

4

(t-

3

2

)2+

37

16

…（10分）
故當(dāng)t=

3

2

時(shí)，可獲最大利潤(rùn) 

37

16

萬(wàn)元．…（12分）
此時(shí)，投入乙種商品的資金為

13

4

萬(wàn)元，
投入甲種商品的資金為

19

4

萬(wàn)元．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問(wèn)題．需要對(duì)知識(shí)熟練的掌握并應(yīng)用，屬于中檔題．