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【題目】如圖，已知拋物線焦點為，過上一點作切線，交軸于點，過點作直線交于點.

（1）證明：；

（2）設直線，的斜率為，的面積為，若，求的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設過點與相切的切線，與拋物線聯立，利用可得，進而可得點坐標，再設直線，與拋物線聯立，利用韋達定理可得答案；

（2）利用（1）的結果可得，代入，可得與的關系，再利用弦長公式和點到直線的距離公式求出和點到的距離，則可表示出，利用換元法和求導求其最小值.

（1）設過點與相切的切線，

聯立，消去得，

由，

則，則，

因為直線的斜率不為0，

設直線，聯立方程得，

故；

（2）由（1）得，則

整理得，即，

當時，點在軸上方，必有，與矛盾

所以必有，則，

則

故，

則，

點到的距離，

，

，令，

則，

令，則

則對于函數，

則，

則函數在上單調遞增，在上單調遞減，

，

，

，

故的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，函數.

（Ⅰ）判斷函數的單調性；

（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】斐波那契數列滿足： .若將數列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結論錯誤的是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（a或t為參數）.以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（cosθsinθ）＝1.

（1）當t為參數，α時，判斷曲線C與直線l的位置關系；

（2）當α為參數，t＝2時，直線l與曲線C交于A，B兩點，設P（1，0），求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，已知和都在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，且，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：()的左右焦點分別為，點滿足：，且.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點的直線l與C交于，不同的兩點，且，問在x軸上是否存在定點N，使得直線，與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形.若存在，求定點N的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數在上的極值；

（3）設函數，若，且對任意的實數，不等式恒成立（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機的普及，外賣點餐逐漸成為越來越多用戶的餐飲消費習慣，由此催生了一批外賣點餐平臺．已知某外賣平臺的送餐費用與送餐距離有關（該平臺只給5千米范圍內配送），為調査送餐員的送餐收入，現從該平臺隨機抽取100名點外賣的用戶進行統計，按送餐距離分類統計結果如表：

送餐距離（千米）

（0，1]

（1，2]

（2，3]

（3，4]

（4，5]

頻數

15

25

25

20

15

以這100名用戶送餐距離位于各區(qū)間的頻率代替送餐距離位于該區(qū)間的概率．

（1）若某送餐員一天送餐的總距離為100千米，試估計該送餐員一天的送餐份數；（四舍五入精確到整數，且同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）．

（2）若該外賣平臺給送餐員的送餐費用與送餐距離有關，規(guī)定2千米內為短距離，每份3元，2千米到4千米為中距離，每份7元，超過4千米為遠距離，每份12元．記X為送餐員送一份外賣的收入（單位：元），求X的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是邊長等于2的菱形，，平面ABCD，O，E分別是，AB的中點，AC交DE于點H，點F為HC的中點

（1）求證：平面；

（2）若OF與平面ABCD所成的角為60°，求三棱錐的表面積.

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