Question

（選做題）在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（B）（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M有特征值λ=8，其對應的一個特征向量e=

1 1

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成點（-2，4），求矩陣M²．
（C）（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數，t∈R）．試在曲線C上一點M，使它到直線l的距離最大．

Answer 1

分析：（B）利用矩陣的特征值與特征向量的關系及矩陣的運算即可求出；
（C）先把極坐標方程和參數方程化為普通方程，再利用點到直線的距離公式即可求出．

解答：（B）解：設M=

a b c d

，則由

a-8 b c d-8

 

1 1

=

0 0

，得

a-8+b=0 c+d-8=0

，
即a+b=8，c+d=8．
由

a b c d

-1 2

=

-2 4

，得

-a+2b -c+2d

=

-2 4

，
從而-a+2b=-2，-c+2d=4．
由a+b=8，-a+2b=-2，c+d=8，-c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4
∴M=

6 2 4 4

，M2=

6 2 4 4

6 2 4 4

=

44 20 40 24

．
（C）解：由曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，
可得C的普通方程是x²+3y²=3，
即

x2

3

+y2=1．
由直線l的參數方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數，t∈R）消去參數td得
直線l的普通方程是x+

3

y-

3

=0．
設點M的坐標是(

3

cosθ，sinθ)，則點M到直線l的距離是
d=

| 3 cosθ+ 3 sinθ- 3 |

2

=

3 | 2 sin(θ+ π 4 )-1|

2

．
當sin(θ+

π

4

)=-1時，
即θ+

π

4

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得θ=2kπ+

5π

4

，k∈Zd取得最大值，
此時

3

cosθ=-

6

2

，sinθ=-

2

2

，
綜上，點M的坐標是(-

6

2

，-

2

2

)時，M到直線l的距離最大．

點評：熟練掌握矩陣的特征值與特征向量的關系及矩陣的運算、直線與圓錐曲線的位置關系及利用點到直線的距離公式求最值問題是解題的關鍵．