Question

已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=，．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連結(jié)DE，證明ED∥BC₁，利用線面平行的判定定理，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)H是AC中點，F(xiàn)是EC中點，連結(jié)DH、HF、FD，證明∠DFH為二面角A-A₁C-D的平面角，即可求二面角A-A₁C-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連結(jié)DE，
∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，且，
∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中點，
∵D為AB中點，∴ED∥BC₁．…（4分）
又∵ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)H是AC中點，F(xiàn)是EC中點，連結(jié)DH、HF、FD，
∵D為AB中點，∴DH∥BC，同理可證HF∥AE．
又∵AC⊥CB，∴DH⊥AC．
又側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥DH．
∴DH⊥平面AA₁C₁C．…（8分）
由（Ⅰ）得AA₁C₁C是正方形，則A₁C⊥AE，∴A₁C⊥HF．
∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，∴DF⊥A₁C．
∴∠DFH即為二面角A-A₁C-D的平面角．…（10分）
又，
∴在Rt△DFH中，．
∴二面角A-A₁C-D的余弦值為．…（13分）
點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確作出面面角．