（本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、。點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點.

       （I）求橢圓的標準方程；

       （II）設(shè)直線、的斜線分別為、.

              （i）證明：；

              （ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

（Ⅰ）解：因為橢圓過點（1，），，所以，，

又， 所以，，故所求橢圓方程為

（Ⅱ）（i）解：方法一：由于、，、的斜率分別為、，且點P不在軸上，所以，，，又直線、的方程分別為，，聯(lián)立方程解得，所以P（，），由于點P在直線上，所以，因此即，結(jié)論成立。

方法二：設(shè)，則，因為點P不在軸上，所以

又所以 因此結(jié)論成立。

（ii）解：設(shè)，，，，

聯(lián)立直線與橢圓的方程得，化簡得，

因此，由于OA，OB的斜率存在，所以，，因此，1因此

。

相似地可以得到，，因此，1，

故

若，須有或，

①當時，結(jié)合（i）的結(jié)論，可得，所以解得點P的坐標為（0,2）；

②當時，結(jié)合（i）的結(jié)論，解得或（此時，不滿足，舍去），此時直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，。

因此P（）。

綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為（0,2），（）。

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（本小題滿分15分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.

（�。┤舨坏仁�對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）若是兩個不相等的正數(shù)，且，求證：．

 

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(本小題滿分15分)．

已知、分別為橢圓：的

上、下焦點，其中也是拋物線：的焦點，

點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓：，過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：，（且）。求證：點Q總在某定直線上。

 

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（Ⅰ）若，且，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若求的最大值和最小值。

 

 

 

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（Ⅱ）若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

 

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（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；

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