Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于

1

2

，它的一個短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線x²=8

3

y的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，-3）是橢圓上的兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn)，
①若直線AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當(dāng)A、B運(yùn)動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8

3

y的焦點(diǎn)，離心率等于

1

2

．由此列式解出出a，b的值，即可得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得四邊形APBQ的面積，從而解決問題．
②設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得x₁+2，同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得x₂+2，從而得出AB的斜率為定值

1

2

．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則b=2

3

．
由

c

a

=

1

2

，a2=c2+b2，得a=4
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（4分）
（Ⅱ）①解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，
代入

x2

16

+

y2

12

=1，得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

t2-4(t2-12)

=

48-3t2

．
由此可得：四邊形APBQ的面積S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

∴當(dāng)t=0，Smax=12

3

．…（8分）
②解：當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k
則PB的斜率為-k，直線PA的直線方程為y-3=k（x-2）
由

y-3=k(x-2)…(1) x2 16 + y2 12 =1…(2)

（1）代入（2）整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0
∴x1+2=

8(2k-3)k

3+4k2

…（10分）
同理直線PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得x2+2=

-8k(-2k-3)

3+4k2

=

8k(2k+3)

3+4k2

∴x1+x2=

16k2-12

3+4k2

，x1-x2=

-48k

3+4k2

…（12分）kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-2)+3+k(x2-2)-3

x1-x2

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

1

2

所以AB的斜率為定值

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件計算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．