在平面直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-1，0），（1，0），點G是△ABC的重心，y軸上一點M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（I）求△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（II）不過點A的直線l：y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點P、Q，當
AP
•
AQ
=0時，求k與b的關系，并證明直線l過定點．
分析：（I）先設出點C的坐標，利用G為△ABC的重心找到點G的坐標，再利用點M在y軸上且MG∥AB求出點M的坐標，結合∵|MC|=|MB|即可找到△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（II）先把直線方程和軌跡E的方程聯(lián)立找到關于點P和點Q坐標之間的關系式，再利用
AP
•
AQ
=0就可找到k與b的關系，再反代入直線方程，就可證明直線l過定點．
解答：解：（I）設點C坐標為（x，y）
因為G為△ABC的重心
故G點坐標為(
x
3
，
y
3
)（2分）
由點M在y軸上且MG∥AB知點M的坐標為(0，
y
3
)∵|MC|=|MB|∴x2+(
2
3
y)2=1+(
y
3
)2，
即x2+
y2
3
=1(y≠0)
∴△ABC的頂點C的軌跡E的方程是x2+
y2
3
=1(y≠0)（5分）
（II）設直線y=kx+b與x2+
y2
3
=1的兩交點為P（x1，y1），Q（x2，y2）
把y=kx+b與x2+
y2
3
=1聯(lián)立得：
y=kx+b
x2+
y2
3
=1

消去y得：（k2+3）x2+2kbx+b2-3=0（7分）
∴△=4k2b2-4（k2+3）（b2-3）=12（k2-b2+3）＞0
且x1+x2=-
2kb
k2+3
，x1x2=
b2-3
k2+3
．（9分）
∵
AQ
•
AQ
=0，∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
故（k2+1）x1x2+（kb+1）（x1+x2）+b2=0
代入整理得：k2+kb-2b2=0∴k=b或k=-2b．（10分）
（1）當k=b時，y=kx+b=k（x+1）直線過點（-1，0）不合題意舍去．
（2）當k=-2b時，y=kx+b=k(x-
1
2
)，直線過點(
1
2
，0)
綜上知：k=-2b，直線過定點(
1
2
，0)（14分）
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量垂直問題．在做第一問時，一定要注意點C不能與AB在一條直線上．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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