Question

已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成角的大小是

π

4

．

Answer 1

分析：線根據(jù)題意正確的做出圖形在取AC得中點(diǎn)G連接AE，EF，F(xiàn)G，GE，BG則根據(jù)異面直線所成的角的定義可得∠FEG或其補(bǔ)角即為異面直線EF與SA所成角，最后再通過(guò)解三角形求出∠FEG即可．

解答：解：設(shè)正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為a則SA=SB=SC=AB=BC=AC=a

（如上圖）取AC得中點(diǎn)G連接AE，EF，F(xiàn)G，GE，BG
∵E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點(diǎn)
∴FG

∥

.

BC，GE

∥

.

SA且FG=

1

2

a=GE
∴∠FEG或其補(bǔ)角即為異面直線EF與SA所成角
∵正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點(diǎn)
∴EA=EB
∴EF⊥AB
∵EA=

SA2-SE2

=

3

2

a，AF=

1

2

a
∴EF=

EA2-AF2

=

2

2

a
∴FG²+GE²=EF²
∵FG=GE
∴∠FEG=

π

4

故答案為

π

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了求異面直線所成的角，屬常考題型，較難．解題的關(guān)鍵是根據(jù)異面直線所成的角的定義做出異面直線EF與SA所成角的平面角但要注意的是異面直線所成的角的范圍（0，

π

2

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