Question

（2012•云南模擬）已知曲線C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數），曲線C₂：

x= 2 2 t y= 2 2 t- 2

（t為參數），
（1）曲線C₁、C₂是否有公共點，為什么？
（2）若把上各點的橫坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C₁′、C₂′，問C₁′與C₂′公共點的個數和C₁與C₂公共點的個數是否相同？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先利用公式sin²θ+cos²θ=1將參數θ消去，得到圓的直角坐標方程，利用消元法消去參數t得到直線的普通方程，再根據圓心到直線的距離與半徑進行比較，從而得到C₁與C₂公共點的個數；
（2）求出壓縮后的參數方程，再將參數方程化為普通方程，聯立直線方程與圓的方程，利用判別式進行判定即可．

解答：解：（1）C₁的普通方程為x²+y²=1，圓心C₁（0，0），半徑r=1．…（1分）C₂的普通方程為x-y-

2

=0．…（2分）
因為圓心C₁到直線x-y-

2

=0的距離為1，…（4分）
所以C₂與C₁只有一個公共點．…（5分）
（2）壓縮后的參數方程分別為C1′：

x= 1 2 cosθ y=sinθ

（θ為參數）； C2′：

x= 2 4 t y= 2 2 t- 2

…（6分）
化為普通方程為：C1′：4x²+y²=1，C2′：y=2x-

2

，…（8分）
聯立消元得8x2-4

2

x+1=0，其判別式△=(-4

2

)2-4×8×1=0，…（9分）
所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點，和C₁與C₂公共點個數相同．…（10分）

點評：本題主要考查了圓與直線的參數方程，以及直線圓的位置關系的判定，同時考查了利用判別式進行判定兩曲線的公共點，轉化與化歸的思想方法，屬于基礎題．