Question

（2013•杭州一模）已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線(xiàn)y=f_（x）的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為P（m，n），求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅲ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線(xiàn)方程為l：y=h（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱(chēng)P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．當(dāng)a=8時(shí)，試問(wèn)函數(shù)y=f_（x）是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．若存在，請(qǐng)求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可得單調(diào)區(qū)間，可得極小值；
（Ⅱ）把a(bǔ)=-1代入，可得切線(xiàn)斜率，由斜率公式還可得斜率，由等式可得m=1是唯一的實(shí)數(shù)解；
（Ⅲ）針對(duì)新定義，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），求其導(dǎo)數(shù)，分0＜x₀＜2，x₀＞2，x₀=2三種情況進(jìn)行討論，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，…2分
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值f（1）=-2，…5分；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=2x-1-

1

x

（x＞0），所以切線(xiàn)的斜率
k=2m-1-

1

m

=

2m2-m-1

m

=

n

m

=

m2-m-lnm

m

，整理可得m²+lnm-1=0，
顯然m=1是方程的解，又因?yàn)楹瘮?shù)y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以方程有唯一的實(shí)數(shù)解，即m=1，…10分；
（Ⅲ）當(dāng)a=8時(shí)，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線(xiàn)方程為：
h（x）=(2x0+

8

x0

-10)(x-x0)+x02-10x0+8lnx0，
設(shè)F（x）=f（x）-h（x），則F（x₀）=0，F(xiàn)′（x）=f′（x）-h′（x）
=（2x+

8

x

-10）-（2x0+

8

x0

-10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）
若0＜x₀＜2，F(xiàn)（x）在（x₀，

4

x0

）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（x₀，

4

x0

）時(shí)，
F（x）＜F（x₀）=0，此時(shí)

F(x)

x-x0

＜0，
若x₀＞2，F(xiàn)（x）在（

4

x0

，x₀）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（

4

x0

，x₀）時(shí)，
F（x）＞F（x₀）=0，此時(shí)

F(x)

x-x0

＜0，
所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，
若x₀=2時(shí)，F(xiàn)′（x）=

2

x

(x-2)2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（x₀）=0，當(dāng)x＜x₀時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（x₀）=0，
故點(diǎn)P（x₀，f（x₀））為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，
故函數(shù)y=f（x）存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，…15分

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，涉及新定義，屬中檔題．