Question

0＜a＜是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的

1. A.
   充分非必要條件
2. B.
   必要非充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   非充分非必要條件

Answer 1

A
分析：分類(lèi)討論：①當(dāng)a＜0時(shí)，不那組題意，②當(dāng)a=0時(shí)，滿足題意③a＞0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=，函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，]，要使函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)，則需區(qū)間（-∞，4]在對(duì)稱軸左側(cè)，即≥4，解之可得a的范圍．綜合可得其充要條件是0≤a≤，由集合的包含關(guān)系可得答案．
解答：①當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=，
故f（x）在（-∞，]上單調(diào)遞增，不可能滿足在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)．
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2，此時(shí)f（x）是一次函數(shù)，滿足在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)．
③a＞0時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=
函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，]，要使函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)，
則需區(qū)間（-∞，4]在對(duì)稱軸左側(cè)，所以≥4，解得a≤．
綜上可得函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充要條件是0≤a≤．
因?yàn)閧a|0＜a＜}是{a|0≤a≤}的真子集，
所以0＜a＜是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件，
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，涉及二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．