Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）通過bn=

Sn

n+c

構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，是否存在一個(gè)非零常數(shù)c，使{b_n}也為等差數(shù)列；
（3）求f(n)=

bn

(n+2009)•bn+1

(n∈N+)的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用通項(xiàng)公式，建立關(guān)于a₁，d 的方程組，并解出a₁，d 可求通項(xiàng)公式．
（2）寫出bn的表達(dá)式，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式特點(diǎn)：關(guān)于n的一次函數(shù)形式，確定是否存在．
（3）研究f（n）的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合分式形式，考慮用基本不等式法求最值．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

⇒

a2•a3=45 a2+a3=14

⇒

a2=5 a3=9

⇒d=4⇒an=4n-3．
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=2n(n-

1

2

)，bn=

Sn

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

，即得b_n=2n，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴存在一個(gè)非零常數(shù)c=-

1

2

，使{b_n}也為等差數(shù)列．
（3）f(n)=

bn

(n+2009)•bn+1

=

n

(n+2009)(n+1)

=

1

n+ 2009 n +3000

＜

1

2 2009 +3000

，
∵1936＜2009＜2025⇒44＜

2009

＜45，
∵n∈N⁺，
∴n=45時(shí)，f(n)=

1

n+ 2009 n +3000

有最大值

45

2054×46

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查分析解決問題、計(jì)算的能力．