當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設(shè)：（1）由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10%，狐貍數(shù)每年減少15%；（2）由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；（3）第n年時，兔子數(shù)量用表示，狐貍數(shù)量用表示；（4）初始時刻（即第0年），兔子數(shù)量有只，狐貍數(shù)量有只。請用所學(xué)知識解決如下問題：

（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型（、的關(guān)系式）；

（2）求出、關(guān)于n的關(guān)系式；

（3）討論當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由。

解：⑴

   ⑵設(shè)，  

∴=……=

又矩陣M的特征多項式  =

令得：

特征值對應(yīng)的一個特征向量為

特征值對應(yīng)的一個特征向量為

且

∴=

∴

⑶當(dāng)n越來越大時，越來越接近于0，,分別趨向于常量210,140。即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時間充分長后，兔子與狐貍的數(shù)量達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設(shè)：
（1）由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10%，狐貍數(shù)每年減少15%；
（2）由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；
（3）第n年時，兔子數(shù)量Rn用表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；
（4）初始時刻（即第0年），兔子數(shù)量有R0=100只，狐貍數(shù)量有F0=30只．
請用所學(xué)知識解決如下問題：
（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；
（2）求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；
（3）討論當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇常州一中2007－2008學(xué)年度高三第一學(xué)期第一階段考試試題數(shù)學(xué) 題型：044

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設(shè)：(1)由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10％，狐貍數(shù)每年減少15％；(2)由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；(3)第n年時，兔子數(shù)量Rn用表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；(4)初始時刻(即第0年)，兔子數(shù)量有R0＝100只，狐貍數(shù)量有F0＝30只．請用所學(xué)知識解決如下問題：

(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型(Rn、Fn的關(guān)系式)；

(2)求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；

(3)討論當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設(shè)：
（1）由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10%，狐貍數(shù)每年減少15%；
（2）由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；
（3）第n年時，兔子數(shù)量Rn用表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；
（4）初始時刻（即第0年），兔子數(shù)量有R0=100只，狐貍數(shù)量有F0=30只．
請用所學(xué)知識解決如下問題：
（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；
（2）求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；
（3）討論當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006-2007學(xué)年江蘇省無錫市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設(shè)：
（1）由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10%，狐貍數(shù)每年減少15%；
（2）由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；
（3）第n年時，兔子數(shù)量Rn用表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；
（4）初始時刻（即第0年），兔子數(shù)量有R=100只，狐貍數(shù)量有F=30只．
請用所學(xué)知識解決如下問題：
（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；
（2）求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；
（3）討論當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

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