Question

有一種變壓器，鐵芯的截面是正十字形（如圖），為保證所需的磁通量，要求正十字形的面積為4

5

cm2，為了使用來繞鐵芯的銅線最�。�即正十字形的外接圓周長最短）．應如何設計正十字形的長和寬？

Answer 1

分析：設正十字形寬為xcm，長為ycm，外接圓直徑為dcm，正十字形面積為Scm²，根據題意建立l與d的函數關系式，再考慮用基本不等式進行解決．

解答：解：設正十字形寬為xcm，長為ycm，外接圓直徑為dcm，正十字形面積為Scm²，
外接圓周長為lcm．則d=

x2+y2

，S=2xy-x²，l=πd
∴d2=x2+(

S+x2

2x

)2=

5

4

x2+

S2

4x2

+

S

2

，要l最小，只需d最�。�
∵x＞0，S=4

5

∴d2≥2

5 4 x2• S2 4x2

+

S

2

=10+2

5

，當且僅當

5

4

x2=

S2

4x2

=

(4 5 )2

4x2

即x=2取等號．
此時lmin=π

10+2 5

cm，即應使正十字形鐵芯寬為2厘米，長為（

5

+1）厘米．

點評：本題是基本不等式在實際問題中的應用，考查函數思想，建模解模的能力．