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選修4-1幾何證明選講
如圖，圓O的圓心O在Rt△ABC的直角邊BC上，該圓與直角邊AB相切，與斜邊AC交于D，E，AD=DE=EC，AB=
14
．
（I）求BC的長；
（II）求圓O的半徑．
分析：（I）根據已知條件結合切割線定理，得AB2=AD•AE=
9
2
AB2=63，再在Rt△ABC中利用勾股定理可算出BC的長度；
（II）設圓O的半徑為r，根據割線定理，結合（I）的計算，可得CF•CB═
2
9
AC2=AB2，即（7-2r）×7=14，解之可得圓O的半徑為7．
解答：解：（Ⅰ）由已知及由切割線定理，得
AB2=AD•AE=
1
3
AC•
2
3
AC，所以AC2=
9
2
AB2．…（3分）
∵AB=
14
，∴AC2=
9
2
×14=63
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：BC=
AC2-AB2
=7．…（5分）
（Ⅱ）設圓O與BC的交點為F，圓O的半徑為r．
由割線定理，得CF•CB=CE•CD=
1
3
AC•
2
3
AC=
2
9
AC2
結合（I）AC2=
9
2
AB2，得CF•CB=AB2，…（8分）
∴（7-2r）×7=14，解之得r=
5
2
，即圓O的半徑為7．…（10分）
點評：本題給出圓心在直角三角形一邊上的圓，求一條直角邊長和圓半徑的大小，著重考查了勾股定理、切割線定理等與圓有關的比例線段等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網A．（選修4-4坐標系與參數方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+
π3
)=4的距離的最小值是
 
．
B．（選修4-5不等式選講）不等式|x-log2x|＜x+|log2x|的解集是
 
．
C．（選修4-1幾何證明選講）如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點，則△ABD的面積是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）不等式|2x-1|＜3的解集為
（-1，2）
（-1，2）
．
B、（選修4-1幾何證明選講） 如圖所示，AC和AB分別是⊙O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點，則△ABC的面積是
192
25
192
25
．
C．（坐標系與參數方程選做題）參數方程
x=cosα
y=1+sinα
（α為參數）化成普通方程為
x2+（y-1）2=1
x2+（y-1）2=1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-1幾何證明選講）
如圖，D，E分別是AB，AC邊上的點，且不與頂點重合，已知AE=m，AC=n，AD，AB為方程x2-14x+mn=0的兩根
（1）證明：C，B，D，E四點共圓；
（2）若∠A=90°，m=4，n=6，求C，B，D，E四點所在圓的半徑．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（選修4-5 不等式選講）
若任意實數x使m≥|x+2|-|5-x|恒成立，則實數m的取值范圍是
[7，+∞）
[7，+∞）
；
B．（選修4-1 幾何證明選講）
如圖：EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數是
99°
99°
；
C．（選修4-4坐標系與參數方程）
極坐標系下，直線ρcos(θ-
π
4
)=
2
與圓ρ=
2
的公共點個數是
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（選修4-4坐標系與參數方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+
π
3
)=4的距離的最小值是
5
2
5
2
．
（B）（選修4-5不等式選講）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則
x+2y
xy
的最小值是
9
9
．
（C）（選修4-1幾何證明選講）若直角△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，則△ABC的面積為
2
2
．

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