Question

已知：A（cosx，sinx），B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f（x）=

|OC|

2．
（Ⅰ）求f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

OC

 的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)可得f（x）=

|OC|

2=3+2

2

sin（x+

π

4

），由此求得對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到f（x）的單增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）．由題設(shè)知，

OA

=（cosx，sinx），…（2分）

OB

=（1，1），則

OC

=

OA

+

OB

=（1+cosx，1+sinx）．…（3分）
∴f（x）=

|OC|

2=（1+cosx）²+（1+sinx）² =3+2（sinx+cosx）=3+2

2

sin（x+

π

4

）．…（5分）
由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，即對(duì)稱軸是 x=kπ+

π

4

，k∈z．…（7分）
對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足x+

π

4

=kπ，k∈z，
即 x=kπ-

π

4

，k∈z，故對(duì)稱中心是（kπ-

π

4

，3），k∈z．…（9分）
（Ⅱ）當(dāng)2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，…（10分）
即 2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈z，
∴f（x）的單增區(qū)間是[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈z．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求向量的模的方法，正弦函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于中檔題．