Question

經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），直線的斜率為k，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求點(diǎn)M的軌跡方程
（2）若直線l的斜率k＞2，且點(diǎn)M到直線3x+4y+m=0的距離為

1

5

，試確定m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-1）（k≠0），聯(lián)立直線與曲線方程可求x₁+x₂，代入可求y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=

4

k

，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)M的坐標(biāo)，消去k可求點(diǎn)M的軌跡方程
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

|3× k2+2 k2 +4× 2 k +m|

5

=

1

5

，整理可得

6

k 2

+

8

k

=±1-3-m，解已知k＞2可求m的范圍

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-1）（k≠0）
把y=k（x-1）代入y²=4x
得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x1+x2=

2k2+4

k2

∴y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=

4

k

∴

x= x 1+x2 2 = k2+2 k2 y= y1+y2 2 = 2 k

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(

k2+2

k2

，

2

k

)；
消去k可得點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=2x-2（x＞0）；
（2）∵d=

|3× k2+2 k2 +4× 2 k +m|

5

=

1

5

∴|3+

6

k 2

+

8

k

+m|=1
∴3+

6

k 2

+

8

k

+m=±1
∴

6

k 2

+

8

k

=±1-3-m
∵k＞2
∴0＜

6

k2

＜

3

2

，0＜

8

k

＜4
∴0＜

6

k 2

+

8

k

＜

11

2

∴0＜±1-3-m＜

11

2

∴0＜1-3-m＜

11

2

或0＜-1-3-m＜

11

2

∴-

15

2

＜m＜-2或-

19

2

＜m＜-4
∴-

19

2

＜m＜-2
∴m的取值范圍為(-

19

2

，-2)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是具備一定的計(jì)算能力