Question

如果雙曲線的兩個焦點分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），一條漸近線方程為：y=

2

x
（1）求該雙曲線的方程；
（2）過焦點F₂，傾斜角為

π

3

的直線與該雙曲線交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）依題意設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)焦點坐標求得c，根據(jù)漸近線方程求得a和b的關(guān)系，進而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和b，則雙曲線方程可得．
（2）根據(jù)直線的傾斜角可知直線的斜率，根據(jù)點F₂進而可得直線AB的方程，設(shè)A，B的坐標，把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而根據(jù)弦長公式求得AB的長．

解答：解：（1）依題意：設(shè)該雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1
則：

b a = 2 c=3

，?

a2=3 b2=6

∴

x2

3

-

y2

6

=1為所求．
(2)由題意知直線AB的方程為y=

3

(x-3)
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y= 3 (x-3) x2 3 - y2 6 =1

得x2-18x+33=0
∴x₁+x₂=18，x₁x₂=33
∴|AB|=

[1+( 3 )2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4(182-4•33)

=16

3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．